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雪 柳

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三角形五心性质总结  

2014-04-18 15:52:09|  分类: 数学学习 |  标签: |举报 |字号 订阅

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三角形的五心性质

三角形五心性质总结 - 雪柳 - 雪 柳

 

       内心是三条角平分线的交点,它到三边的距离相等。

       外心是三条边垂直平分线的交点,它到三个顶点的距离相等。

       重心是三条中线的交点,它到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。

       垂心是三条高的交点,它能构成很多直角三角形相似。

       旁心是一个内角平分线与其不相邻的两个外角平分线的交点,它到三边的距离相等。

(1)重心和三顶点的连线所构成的三个三角形面积相等;

(2)外心到三顶点的距离相等;

(3)垂心与三顶点这四点中,任一点是其余三点构成的三角形的垂心;

(4)内心、旁心到三边距离相等;

(5)垂心是三垂足构成的三角形的内心;

(6)外心是中点三角形的垂心;

(7)中心也是中点三角形的重心;

(8)三角形的中点三角形的外心也是其垂足三角形的外心。

三角形的五心定理

重心定理:三角形的三条中线交于一点,这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍,该点叫做三角形的重心。

外心定理:三角形的三边的垂直平分线交于一点,该点叫做三角形的外心。

垂心定理:三角形的三条高交于一点,该点叫做三角形的垂心。

内心定理:三角形的三内角平分线交于一点,该点叫做三角形的内心。

旁心定理:三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点,该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。

重心的几条性质:

1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1。

2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。

3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。

4、在平面直角坐标系中,重心的坐标是顶点坐标的算术平均,即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3);空间直角坐标系——横坐标:(X1+X2+X3)/3 纵坐标:(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标:(z1+z2+z3)/3

5、三角形内到三边距离之积最大的点。

线段的重心 线段的重心就是线段的中点

平行四边形的重心 平行四边形的重心就是它两条对角线的交点

三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心,它们都是三角形的重要相关点。

三角形内心的性质  

设⊿ABC的内切圆为☉I(r),角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2.   

1、三角形的三条角平分线交于一点,该点即为三角形的内心.   

2、三角形的内心到三边的距离相等,都等于内切圆半径r.   

3、r=S/p.   

4、在Rt△ABC中,∠C=90°,r=(a+b-c)/2.   

5、∠BIC=90°+A/2.   

6、点O是平面ABC上任意一点,点I是⊿ABC内心的充要条件是:   a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0.   

7、点O是平面ABC上任意一点,点I是⊿ABC内心的充要条件是:   向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c).   

8、⊿ABC中,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),那么⊿ABC内心I的坐标是:   (ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c),ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c)).  

9、(欧拉定理)⊿ABC中,R和r分别为外接圆为和内切圆的半径,O和I分别为其外心和内心,则OI^2=R^2-2Rr.   

10、(内角平分线分三边长度关系)   ⊿ABC中,0为内心,∠A 、∠B、 ∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R, 则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. 上述的几个结论早在欧几里得时代均已被人发现,欧几里得除垂心定理外,均把它们作为重要定理收集在自己的《几何原本》里。

三角形外心的性质  

设⊿ABC的外接圆为☉G(R),角A、B、C的对边分别为a、b、c,p=(a+b+c)/2.   

1、三角形三条边的垂直平分线的交于一点,该点即为三角形外接圆的圆心.   

2、锐角三角形的外心在三角形内;钝角三角形的外心在三角形外;直角三角形的外心在斜边上,与斜边中点重合.   

3、GA=GB=GC=R.   3、∠BGC=2∠A,或∠BGC=2(180°-∠A).   

4、R=abc/4S⊿ABC.   

5、点G是平面ABC上一点,那么点G是⊿ABC外心的充要条件是:   (向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=向量0.   

6、点G是平面ABC上一点,点P是平面ABC上任意一点,那么点G是⊿ABC外心的充要条件是:   向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC).   

7、点G是平面ABC上一点,点P是平面ABC上任意一点,那么点G是⊿ABC外心的充要条件是:   向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC.   

8、设d1,d2,d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3,c2=d1d3,c3=d1d2;c=c1+c2+c3。   重心坐标:( (c2+c3)/2c,(c1+c3)/2c,(c1+c2)/2c )。

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